** Coût marginal et coût moyen

Un artisan fabrique \(x\)  litres de parfum, avec \(x\in[0\ ;\ 100]\) . 

Le coût total de production, exprimé en euros, est modélisé par la fonction \(C\) , définie sur \([0\ ;\ 100]\)  par \(C(x)=\dfrac{1}{72}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+160x+1536\) .

On appelle coût marginal le coût additionnel induit par la fabrication d'une unité supplémentaire, c'est-à-dire ici par la fabrication d'un litre de parfum. On le note \(C_m(x)\)  et on a donc  \(C_m(x)=C(x+1)-C(x)\) .

1. Pour tout réel \(x\in[0\ ;\ 100]\) , calculer \(C'(x).\)

2. a. Déterminer \(C_m(x)\)  pour tout réel   \(x\in[0\ ;\ 100]\) .
     b. Calculer \(C_m(50)\)  et comparer avec \(C'(50).\)

En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total. On aura donc,  pour tout réel \(x\in[0\ ;\ 100]\) , \(C_m(x)=C'(x)\) .

3. a. Déterminer le plus grand intervalle de la forme \([0\ ;\ a]\)  inclus dans \([0\ ;\ 100]\)  sur lequel la fonction \(C\)  est concave.
    b. Que peut-on dire du point \(\text A(a\ ;\ C(a))\)  pour la courbe représentative de la fonction \(C\)  ? Interpréter.

4. Le coût moyen de fabrication d'un litre de parfum, quand on produit \(x\)  litres, est modélisé par la fonction \(C_M\)  définie pour tout réel  \(x\)  dans l'intervalle \(]0\ ;\ 100]\)  par \(C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}\) .
    a. Démontrer que, pour tout réel  \(x\)  dans l'intervalle \(]0\ ;\ 100]\) , \(\) \(C_M'(x)=\dfrac{(x-96)\left(x^2+6x+576\right) }{36x^2}\) .
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction \(C_M\)  et la quantité de parfum à produire pour obtenir un coût moyen de production minimal.
    c. Calculer  \(C_M(96)\)  et \(C_m(96)\) . Que remarque-t-on ?